Programme Officiel

Progression Globale

Premier Semestre

Raisonnement et vocabulaire ensembliste

a) Rudiments de logique

Contenus	Capacités & Commentaires
Quantificateurs.	L'emploi de quantificateurs en guise d'abréviation est exclu.
Implication, contraposition, équivalence.	Les étudiants doivent savoir formuler la négation d'une proposition.
Modes de raisonnement : par disjonction des cas, par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse.	Le raisonnement par analyse-synthèse est l'occasion de préciser les notions de condition nécessaire et condition suffisante.
Raisonnement par récurrence (simple, double, forte).	Toute construction et toute axiomatique de ℕ sont hors programme.

Traité (Ch. 01)

b) Ensembles

Contenus	Capacités & Commentaires
Ensemble, appartenance. Ensemble vide.
Inclusion. Partie (ou sous-ensemble).
Opérations sur les parties d'un ensemble : réunion, intersection, différence, complémentaire.	Notation A \ B pour la différence et Aᶜ pour le complémentaire.
Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles.
Ensemble des parties d'un ensemble.	Notation 𝒫(E).
Recouvrement disjoint, partition.

Traité (Ch. 05)

c) Ensembles de nombres usuels

Contenus	Capacités & Commentaires
Entiers naturels, entiers relatifs, divisibilité dans ℤ, diviseurs, multiples.
Théorème de la division euclidienne.
PGCD de deux entiers relatifs dont l'un au moins est non nul.	Le PGCD de a et b est défini comme étant le plus grand élément de l'ensemble des diviseurs communs à a et b.
PPCM.
Algorithme d'Euclide.
Nombre premier. L'ensemble des nombres premiers est infini.
Existence et unicité de la décomposition d'un entier naturel non nul en produit de nombres premiers.	La démonstration est hors programme.
Nombres décimaux, rationnels, réels, irrationnels.	La construction des ensembles de nombres usuels est hors programme.

Traité (Ch. 12)

d) Applications

Contenus	Capacités & Commentaires
Application d'un ensemble dans un ensemble. Graphe d'une application.	Le programme ne distingue pas les notions de fonction et d'application.
Notations ℱ(E,F) et Fᴱ.
Famille d'éléments d'un ensemble.
Fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble.	Notation 𝟙_A.
Restriction et prolongement.	Notation f\
Image directe.	Notation f(A).
Image réciproque.	Notation f⁻¹(B).
Composition.
Injection, surjection. Composée de deux injections, de deux surjections.
Bijection, réciproque. Composée de deux bijections, réciproque de la composée.	Notation f⁻¹.

Traité (Ch. 05)

Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

a) Sommes et produits

Contenus	Capacités & Commentaires
Somme et produit d'une famille finie de nombres réels.	Notations ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ, ∏ᵢ₌₁ⁿ aᵢ.
Sommes et produits télescopiques, exemples de changements d'indices.
Expressions simplifiées de ∑ₖ₌₁ⁿ k, ∑ₖ₌₁ⁿ k², ∑ₖ₌₀ⁿ xᵏ.
Factorisation de aⁿ − bⁿ par a − b.
Sommes doubles. Produit de deux sommes finies.
Rappels sur la factorielle, les coefficients binomiaux. Formule du binôme dans ℝ.

Traité (Ch. 03)

b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot

Contenus	Capacités & Commentaires
Système linéaire à coefficients réels de deux ou trois équations à deux ou trois inconnues.	Interprétation géométrique.
Algorithme du pivot et mise en évidence des opérations élémentaires.	Notations Lᵢ ↔ Lⱼ, Lᵢ ← λLᵢ, Lᵢ ← Lᵢ + λLⱼ.

Traité (Ch. 04)

c) Inégalités

Contenus	Capacités & Commentaires
Relation d'ordre sur ℝ. Compatibilité avec les opérations.
Intervalles de ℝ.
Valeur absolue. Inégalité triangulaire.
Dans ℝ, parties majorées, minorées, bornées. Majorant, minorant; maximum, minimum.
Partie entière d'un nombre réel.	Notation ⌊x⌋.

Traité (Ch. 02)

d) Trigonométrie

Contenus	Capacités & Commentaires
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus.
Relation de congruence modulo 2π sur ℝ.	Notation a ≡ b [2π].
Cosinus et sinus de π ± x, de π/2 ± x. Cosinus et sinus des angles usuels.
Formules d'addition cos(a ± b), sin(a ± b). Formules de duplication.
Fonctions circulaires cosinus et sinus.
Pour x ∈ ℝ, inégalité	sin(x)
Fonction tangente.	Notation tan.
Formule d'addition tan(a ± b).

Traité (Ch. 07)

Nombres complexes

a) Nombres complexes

Contenus	Capacités & Commentaires
Parties réelle et imaginaire.	La construction de ℂ est hors programme.
Opérations sur les nombres complexes.
Point du plan associé à un nombre complexe, affixe d'un point, affixe d'un vecteur.	On identifie ℂ au plan complexe.

Traité (Ch. 08)

b) Conjugaison et module

Contenus	Capacités & Commentaires
Conjugaison, compatibilité avec les opérations.
Module.	Interprétation géométrique de
Relation	z
Inégalité triangulaire, cas d'égalité.

Traité (Ch. 08)

c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

Contenus	Capacités & Commentaires
Identification du cercle trigonométrique et de l'ensemble des nombres complexes de module 1. Définition de eⁱᵗ pour t ∈ ℝ.	Notation 𝕌.
Exponentielle d'une somme. Formules d'Euler.
Technique de l'angle moitié : factorisation de 1 ± eⁱᵗ, de eⁱᵖ ± eⁱᵠ.
Linéarisation, calcul de ∑ₖ₌₀ⁿ cos(kt) et de ∑ₖ₌₀ⁿ sin(kt).
Formule de Moivre.

Traité (Ch. 08)

d) Forme trigonométrique

Contenus	Capacités & Commentaires
Forme trigonométrique r eⁱᶿ (r > 0) d'un nombre complexe non nul. Arguments.
Transformation de a cos t + b sin t en A cos(t − φ).

Traité (Ch. 08)

e) Équations algébriques

Contenus	Capacités & Commentaires
Factorisation de P(z) par z − a.
Résolution des équations du second degré dans ℂ. Somme et produit des racines.
Calcul des racines carrées d'un nombre complexe.

Traité (Ch. 08)

f) Racines n-ièmes

Contenus	Capacités & Commentaires
Description des racines n-ièmes de l'unité, d'un nombre complexe non nul.	Notation 𝕌ₙ.
Représentation géométrique.

Traité (Ch. 08)

g) Exponentielle complexe

Contenus	Capacités & Commentaires
Définition de eᶻ pour z complexe : eᶻ = eᴿᵉ⁽ᶻ⁾ eⁱ ᴵᵐ⁽ᶻ⁾.	Notations exp(z), eᶻ.
Exponentielle d'une somme.
Pour tous z et z′ dans ℂ, exp(z) = exp(z′) si et seulement si z − z′ ∈ 2iπℤ.

Traité (Ch. 08)

h) Interprétation géométrique des nombres complexes

Contenus	Capacités & Commentaires
Interprétation géométrique des module et arguments de (c − a)/(b − a).	Traduction de l'alignement, de l'orthogonalité.
Interprétation géométrique des applications z ↦ az et z ↦ z + b.	Translations, homothéties, rotations.
Interprétation géométrique de la conjugaison.	L'étude générale des similitudes est hors programme.

Traité (Ch. 08)

Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

A - Fonctions d'une variable réelle

a) Généralités sur les fonctions

Contenus	Capacités & Commentaires
Ensemble de définition. Représentation graphique.
Parité, imparité, périodicité.
Somme, produit, composée. Monotonie.
Fonctions majorées, minorées, bornées.

Traité (Ch. 06)

b) Dérivation

Contenus	Capacités & Commentaires
Dérivée d'une fonction.	Notations f′(x), d/dx(f(x)).
Dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient, d'une composée.
Caractérisation des fonctions constantes, croissantes, strictement croissantes.
Tableau de variations. Étude pratique d'une fonction.
Représentation graphique et dérivée d'une fonction réciproque.
Fonction de classe C¹. Dérivées d'ordre supérieur.

Traité (Ch. 06)

c) Fonctions usuelles

Contenus	Capacités & Commentaires
Fonctions exponentielle, logarithme népérien, puissances.
Logarithme décimal, logarithme en base 2.
Relations (xy)^α = x^α y^α, x^(α+β) = x^α x^β, (x^α)^β = x^(αβ).
Croissances comparées.
Inégalités exp(x) ≥ 1 + x, ln(1 + x) ≤ x.
Fonctions circulaires réciproques Arcsin, Arccos, Arctan.
Fonctions hyperboliques sh, ch.	ch²(x) − sh²(x) = 1.

Traité (Ch. 06)

d) Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle

Contenus	Capacités & Commentaires
Dérivée d'une fonction à valeurs complexes.
Dérivée de exp(φ) où φ est une fonction dérivable à valeurs complexes.

Traité (Ch. 06)

B - Primitives et équations différentielles linéaires

a) Calcul de primitives

Contenus	Capacités & Commentaires
Primitives d'une fonction définie sur un intervalle.
Calcul des primitives, application au calcul d'intégrales.	Primitives de x ↦ e^(λx) pour λ ∈ ℂ.
Primitives des fonctions usuelles et des fonctions x ↦ 1/(1 + x²), x ↦ 1/√(1 − x²).
Intégration par parties, changement de variable.

Traité (Ch. 17)

b) Équations différentielles linéaires du premier ordre

Contenus	Capacités & Commentaires
Équation y′ + a(x)y = b(x). Équation homogène associée.
Ensemble des solutions de l'équation homogène.
Principe de superposition.
Méthode de la variation de la constante.
Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy.

Traité (Ch. 19)

c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Contenus	Capacités & Commentaires
Équation y″ + ay′ + by = f(x). Équation homogène associée.
Ensemble des solutions de l'équation homogène.
Principe de superposition.
Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy.	La démonstration est hors programme.

Traité (Ch. 19)

Nombres réels et suites numériques

a) Propriété de la borne supérieure

Contenus	Capacités & Commentaires
Borne supérieure (resp. inférieure) d'une partie de ℝ.	Notations sup X, inf X.
Toute partie non vide et majorée de ℝ admet une borne supérieure.

Traité (Ch. 02)

b) Généralités sur les suites réelles

Contenus	Capacités & Commentaires
Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone.
Mode de définition d'une suite réelle : explicite, implicite, par récurrence.

Traité (Ch. 09)

c) Limite d'une suite réelle

Contenus	Capacités & Commentaires
Limite finie ou infinie d'une suite. Unicité de la limite.	Notations uₙ → ℓ, lim uₙ.
Suite convergente, divergente.
Toute suite convergente est bornée.
Opérations sur les limites.
Passage à la limite d'une inégalité large.
Existence d'une limite par encadrement.

Traité (Ch. 10)

d) Suites monotones

Contenus	Capacités & Commentaires
Théorème de la limite monotone.
Théorème des suites adjacentes.
Approximations décimales d'un réel.

Traité (Ch. 10)

e) Suites extraites

Contenus	Capacités & Commentaires
Suite extraite.	Le théorème de Bolzano-Weierstrass est hors programme.
Si une suite possède une limite, toutes ses suites extraites possèdent la même limite.
Si (u₂ₙ) et (u₂ₙ₊₁) tendent vers ℓ, alors (uₙ) tend vers ℓ.

Traité (Ch. 10)

f) Suites complexes

Contenus	Capacités & Commentaires
Brève extension des définitions et résultats précédents.	Caractérisation de la limite en termes de parties réelle et imaginaire.

Traité (Ch. 08)

g) Suites particulières

Contenus	Capacités & Commentaires
Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques.
Suites récurrentes linéaires homogènes d'ordre 2.
Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ). Représentation géométrique.

Traité (Ch. 09)

Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité

A - Limites et continuité

a) Limite d'une fonction en un point

Contenus	Capacités & Commentaires
Limite finie ou infinie d'une fonction en a. Unicité de la limite.	Notations f(x) →_{x→a} ℓ, lim_{x→a} f(x).
Limite à droite, limite à gauche.
Caractérisation séquentielle de la limite.
Opérations sur les limites.
Théorème de la limite monotone.

Traité (Ch. 13)

b) Continuité en un point

Contenus	Capacités & Commentaires
Continuité, prolongement par continuité en un point.
Opérations sur les fonctions continues en un point.

Traité (Ch. 14)

c) Continuité sur un intervalle

Contenus	Capacités & Commentaires
Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires.
Image d'un intervalle par une fonction continue.
Théorème des bornes atteintes.	La démonstration est hors programme.
Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone.

Traité (Ch. 14)

B - Dérivabilité

a) Nombre dérivé, fonction dérivée

Contenus	Capacités & Commentaires
Dérivabilité en un point, nombre dérivé.	La dérivabilité entraîne la continuité.
Caractérisation par un DL à l'ordre 1.	Interprétation géométrique : tangente.
Opérations sur les fonctions dérivables.

Traité (Ch. 15)

b) Extremum local et point critique

Contenus	Capacités & Commentaires
Condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur.	Un point critique est un zéro de la dérivée.

Traité (Ch. 15)

c) Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Contenus	Capacités & Commentaires
Théorème de Rolle.
Égalité des accroissements finis.
Inégalité des accroissements finis.	La notion de fonction lipschitzienne est introduite.
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones.
Théorème de la limite de la dérivée.

Traité (Ch. 15)

d) Fonctions de classe Cᵏ

Contenus	Capacités & Commentaires
Pour k ∈ ℕ ∪ {∞}, fonction de classe Cᵏ.
Opérations sur les fonctions de classe Cᵏ (formule de Leibniz).

Traité (Ch. 15)

e) Fonctions convexes

Contenus	Capacités & Commentaires
Fonction convexe sur I.	Interprétation géométrique. L'inégalité de Jensen est hors programme.
Position du graphe par rapport aux sécantes et tangentes.
Caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables.

Traité (Ch. 18)

Calcul matriciel et systèmes linéaires

a) Opérations sur les matrices

Contenus	Capacités & Commentaires
Ensemble ℳₙ,ₚ(𝕂). Addition, multiplication par un scalaire.
Matrices élémentaires.
Produit matriciel; bilinéarité, associativité.
Symbole de Kronecker δᵢ,ⱼ.
Transposée d'une matrice.	Notation A^⊤.

Traité (Ch. 11)

b) Opérations élémentaires

Contenus	Capacités & Commentaires
Interprétation des opérations élémentaires en termes de produit matriciel.

Traité (Ch. 11)

c) Systèmes linéaires

Contenus	Capacités & Commentaires
Écriture matricielle AX = B. Système homogène associé.
Système compatible.
Structure de l'ensemble des solutions.

Traité (Ch. 11)

d) Ensemble des matrices carrées

Contenus	Capacités & Commentaires
Ensemble ℳₙ(𝕂).	Non commutativité. Diviseurs de zéro, éléments nilpotents.
Matrice identité, matrice scalaire.	Notation Iₙ.
Matrices symétriques, antisymétriques.
Formule du binôme.
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire.	Notation GLₙ(𝕂).
Calcul de l'inverse d'une matrice.
Inversibilité d'une matrice triangulaire.

Traité (Ch. 11)

Polynômes

a) Ensemble des polynômes à une indéterminée

Contenus	Capacités & Commentaires
Ensemble 𝕂[X].	La construction est hors programme.
Combinaison linéaire et produit de polynômes.
Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire. Ensemble 𝕂ₙ[X].
Composition.

Traité (Ch. 16)

b) Divisibilité et division euclidienne

Contenus	Capacités & Commentaires
Divisibilité dans 𝕂[X].
Théorème de la division euclidienne.

Traité (Ch. 16)

c) Fonctions polynomiales et racines

Contenus	Capacités & Commentaires
Fonction polynomiale associée. Racine d'un polynôme.
Méthode de Horner.
Le nombre de racines est majoré par le degré.
Multiplicité d'une racine. Polynôme scindé.

Traité (Ch. 16)

d) Dérivation

Contenus	Capacités & Commentaires
Dérivée formelle d'un polynôme.
Formule de Taylor polynomiale.
Caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives.

Traité (Ch. 16)

e) Polynômes irréductibles de ℂ[X] et ℝ[X]

Contenus	Capacités & Commentaires
Théorème de d'Alembert-Gauss.	La démonstration est hors programme.
Polynômes irréductibles de ℂ[X] et ℝ[X].
Factorisation de Xⁿ − 1 dans ℂ[X].

Traité (Ch. 16)

f) Décomposition en éléments simples

Contenus	Capacités & Commentaires
Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles à pôles simples.	La démonstration est hors programme.
Application au calcul de primitives, de dérivées k-ièmes.

Traité (Ch. 16)

Deuxième Semestre

Analyse asymptotique

a) Relations de comparaison : cas des fonctions

Contenus	Capacités & Commentaires
Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence en un point a.	Notations f(x) = O(g(x)), f(x) = o(g(x)), f(x) ∼ g(x).
Traduction des croissances comparées.
Règles de manipulation des équivalents et des symboles o et O.
Propriétés conservées par équivalence : signe, limite.

b) Développements limités

Contenus	Capacités & Commentaires
Développement limité à l'ordre n d'une fonction en un point. Unicité des coefficients.
Caractérisation de la dérivabilité par l'existence d'un DL à l'ordre 1.
Opérations sur les développements limités.
Primitivation d'un développement limité.
Formule de Taylor-Young.
DL usuels : exp, sin, cos, sh, ch, ln(1+x), 1/(1−x), (1+x)^α, Arctan.
DL à l'ordre 3 de tan.
Application à l'étude locale d'une fonction.

c) Relations de comparaison : cas des suites

Contenus	Capacités & Commentaires
Adaptation aux suites des définitions et résultats relatifs aux fonctions.	Notations uₙ = O(vₙ), uₙ = o(vₙ), uₙ ∼ vₙ.

Espaces vectoriels et applications linéaires

A - Espaces vectoriels

Contenus	Capacités & Commentaires
Structure de 𝕂-espace vectoriel.	Espaces 𝕂ⁿ, 𝕂[X], ℳₙ,ₚ(𝕂).
Espace vectoriel des fonctions d'un ensemble dans un espace vectoriel.
Combinaison linéaire d'une famille finie de vecteurs.
Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation.
Intersection de sous-espaces vectoriels.
Sous-espace vectoriel engendré.	Notation Vect(xᵢ).
Famille génératrice. Famille libre, liée.
Base, coordonnées.
Somme de deux sous-espaces. Somme directe.
Sous-espaces supplémentaires.

B - Espaces de dimension finie

Contenus	Capacités & Commentaires
Existence de bases en dimension finie.
Théorèmes de la base extraite, de la base incomplète.
Dimension d'un espace de dimension finie.
Caractérisation des bases dans un espace de dimension n.
Rang d'une famille finie de vecteurs.	Notation rg(x₁,...,xₙ).
Dimension d'un sous-espace, cas d'égalité.
Formule de Grassmann.
Existence de supplémentaires.

C - Applications linéaires

Contenus	Capacités & Commentaires
Application linéaire. Espace ℒ(E, F).
Opérations sur les applications linéaires. Isomorphisme.
Image directe et image réciproque d'un sous-espace.
Image et noyau d'une application linéaire.	Notations Im u, Ker u.
Caractérisation de l'injectivité.
Rang d'une application linéaire.	Notation rg(u).
Endomorphismes. Identité, homothéties.	Notations id_E, id.
Projection, symétrie : caractérisation par p² = p, s² = id.
Automorphismes. Groupe linéaire GL(E).
Détermination d'une application linéaire par l'image d'une base.
Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension.
Théorème du rang.	dim Ker u + rg(u) = dim E.
Formes linéaires et hyperplans.

Matrices et déterminants

A - Matrices et applications linéaires

Contenus	Capacités & Commentaires
Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases.
Isomorphisme de ℒ(E, F) sur ℳₙ,ₚ(𝕂).
Matrice d'une composée, d'une réciproque.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
Noyau, image et rang d'une matrice.
Caractérisation des matrices inversibles.
Invariance du rang par transposition (admis).
Matrice de passage. Effet d'un changement de bases.
Matrices semblables.
Systèmes linéaires : interprétation en termes de noyau et image.

B - Déterminants

Contenus	Capacités & Commentaires
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base.	Forme multilinéaire alternée.
Expression du déterminant en dimension 2 et 3.	Interprétation géométrique (aire, volume orienté).
La famille est une base ssi le déterminant est non nul.
Déterminant d'un endomorphisme.
Déterminant d'une matrice carrée.	Caractère n-linéaire alterné.
Déterminant d'un produit, de l'inverse, d'une transposée.
Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant.
Effet des opérations élémentaires.
Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
Déterminant d'une matrice triangulaire.

Intégration

Contenus	Capacités & Commentaires
Subdivision d'un segment. Fonction en escalier.
Intégrale d'une fonction en escalier.
Intégrale d'une fonction continue sur un segment.	Notations ∫_{[a,b]} f, ∫_a^b f(t)dt.
Linéarité, positivité et croissance de l'intégrale.
Inégalité triangulaire intégrale.
Relation de Chasles.
Sommes de Riemann.
Dérivation de x ↦ ∫_a^x f(t)dt.
Toute fonction continue possède des primitives.
Inégalité de Taylor-Lagrange.	L'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme.
Extension au cas des fonctions à valeurs complexes.

Traité (Ch. 21)

Dénombrement

Contenus	Capacités & Commentaires
Cardinal d'un ensemble fini.	Notations
Cardinal d'une partie d'un ensemble fini, cas d'égalité.
Opérations sur les cardinaux.	La formule du crible est hors programme.
Cardinal de l'ensemble des applications, des parties.
Nombre de p-listes d'éléments distincts, nombre de permutations.
Nombre de p-combinaisons.
Démonstration combinatoire des formules de Pascal et du binôme.

Probabilités

A - Probabilités sur un univers fini, variables aléatoires et lois

Contenus	Capacités & Commentaires
Univers, événements, variables aléatoires.	On se limite au cas d'un univers fini.
Espace probabilisé fini (Ω, ℙ).
Probabilité uniforme.
Probabilités conditionnelles.
Formules des probabilités composées, totales, de Bayes.
Loi d'une variable aléatoire.
Variable uniforme 𝒰(E), de Bernoulli ℬ(p), binomiale ℬ(n, p).
Loi conditionnelle. Couple de variables aléatoires.
Événements indépendants.
Variables aléatoires indépendantes.	Notation X ⊥⊥ Y.
Si X₁,...,Xₙ sont indépendantes de loi ℬ(p), alors X₁ + ··· + Xₙ suit la loi ℬ(n, p).

B - Espérance et variance

Contenus	Capacités & Commentaires
Espérance 𝔼(X).	Indicateur de position.
Linéarité, positivité, croissance.
Formule de transfert.
Si X et Y sont indépendantes, alors 𝔼(XY) = 𝔼(X)𝔼(Y).
Variance 𝕍(X) et écart type σ(X).	Indicateurs de dispersion.
Relation 𝕍(X) = 𝔼(X²) − 𝔼(X)².
Covariance de deux variables aléatoires.
Variance d'une somme, cas de variables décorrélées.
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.	Interprétation fréquentiste.

Espaces préhilbertiens réels

Contenus	Capacités & Commentaires
Produit scalaire.	Notations ⟨x, y⟩, (x
Espace préhilbertien, espace euclidien.
Produit scalaire canonique sur ℝⁿ.	Expression X^⊤Y.
Produit scalaire ⟨f, g⟩ = ∫_a^b fg.
Norme associée à un produit scalaire, distance.
Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité.
Inégalité triangulaire, cas d'égalité.
Vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie.	Notation X^⊥.
Famille orthogonale, orthonormée. Théorème de Pythagore.
Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Existence de bases orthonormées.
Supplémentaire orthogonal. Projection orthogonale.
Distance d'un vecteur à un sous-espace.	Notation d(x, F).

Séries numériques

Contenus	Capacités & Commentaires
Sommes partielles d'une série. Convergence, divergence, somme.	Notation ∑uₙ, ∑_{n=0}^{+∞} uₙ.
Le terme général d'une série convergente tend vers 0.	Divergence grossière.
Reste d'une série convergente.
Lien suite-série.
Séries géométriques.
Relation eᶻ = ∑_{n=0}^{+∞} zⁿ/n!.
Une série à termes positifs converge ssi les sommes partielles sont majorées.
Comparaison de séries à termes positifs.
Séries de Riemann.
Convergence absolue, sommabilité.	Le critère de Cauchy et la semi-convergence sont hors programme.
Une série absolument convergente est convergente.

Fonctions de deux variables

Contenus	Capacités & Commentaires
Boules de ℝ². Ouverts.
Continuité d'une fonction définie sur un ouvert de ℝ².	L'étude de la continuité n'est pas un objectif du programme.
Dérivées partielles.	Notations ∂f/∂x, ∂f/∂y.
Fonction de classe C¹ sur un ouvert.	La notion de fonction différentiable est hors programme.
Développement limité à l'ordre 1.	Plan tangent.
Gradient d'une fonction de classe C¹.	Notation ∇f.
Dérivée selon un vecteur.
Règle de la chaîne.
Le gradient de f est orthogonal aux lignes de niveau de f.
Maximum et minimum, local ou global.
Point critique. Tout extremum local est un point critique.

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